MPSGEの内部での動作


MPSGEが内部でどのような計算を行うかの説明。

コードの例:

$prod:y  s:eos
o:py	q:y0
i:px(i)	q:x0(i)	 p:((1+tx0(i))*px0(i))  a:hh  t:tx(i)

このようなコードの場合、生産関数(費用関数、要素需要関数)は次のように特定化される。

1) まず、ベンチマークの単位費用cy0と投入額シェアsh0(i)が計算される。

cy0 = sum(i, (1+tx0(i))*px0(i)*x0(i)) / y0
sh0(i) = (1+tx0(i))*px0(i)*x0(i) / sum(ii, (1+tx0(ii))*px0(ii)*x0(ii))

2) Calibrated share formの形式で単位費用関数が特定化される。

cy = cy0 * (sum(i, sh0(i)*((1+tx(i))*px(i)/((1+tx0(i))*px0(i)))**(1-eos)))**(1/(1-eos))

3) 要素需要関数:さらに、要素需要関数が特定化される(単位費用関数を要素価格で微分したもの)

d_x(i) = x0(i) * ((cy / cy0) / ((1+tx(i))*px(i)/((1+tx0(i))*px0(i))))**(eos) * y

ただし、yはベンチマークで1をとるように基準化された変数.

数式で書くと

 \displaystyle  \bar{c}^{y}=\left[\sum_{i}[1+\bar{t}^{x}_{i}]\bar{p}^{x}_{i}\bar{x}_{i}\right] \bar{y}
 \displaystyle  \theta_{i}=\frac{[1+\bar{t}^{x}_{i}]\bar{p}^{x}_{i}\bar{x}_{i}}{\sum_{j}[1+\bar{t}^{x}_{j}]\bar{p}^{x}_{j}\bar{x}_{j}}
 \displaystyle  c^{y}=\bar{c}^{y}\left\{\sum_{i}\theta_{i}\left[\frac{[1+t^{x}_{i}]p^{x}_{i}}{[1+\bar{t}^{x}_{i}]\bar{p}^{x}_{i}}\right]^{1-\sigma}\right\}^{\frac{1}{1-\sigma}}
 \displaystyle  x_{i}=\bar{x}_{i}\left[\frac{c^{y}/\bar{c}^{y}}{[1+t^{x}_{i}]p^{x}_{i}/[[1+\bar{t}^{x}_{i}]\bar{p}^{x}_{i}]}\right]^{\sigma}\frac{y}{\bar{y}}

バー付きの値はベンチマークの値.


以上より、ここで説明した、「reference price は相対的な大きさしか意味がない」ということを確認できる。

例えば、reference price filedを次のように変えたとする。

$prod:y  s:eos
o:py	q:y0
i:px(i)	q:x0(i)	 p:((1+tx0(i))*px0(i)*100)  a:hh  t:tx(i)

このとき、まず,投入額シェアは

sh0(i) = (1+tx0(i))*px0(i)*100*x0(i) / sum(ii, (1+tx0(ii))*px0(ii)*100*x0(ii))
= (1+tx0(i))*px0(i)*x0(i) / sum(ii, (1+tx0(ii))*px0(ii)*x0(ii))

となり、前と変わらない.

cy については

cy = cy0 * (sum(i, sh0(i)*((1+tx(i))*px(i)/((1+tx0(i))*px0(i)*100))**(1-eos)))**(1/(1-eos))

となり,価格の分母の部分が100 倍となるが,cy0 についても

cy0 = sum(i, (1+tx0(i))*px0(i)*100*x0(i)) / y0

のように 100 倍になっているので,特定化される単位費用関数 cy は全く変わらない.要素需要関数についても同様に変わらない。



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